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● Entendendo as Leis do Cubo Por que existem casos impossíveis de se acontecer no cubo? Por que em big cubes ocorrem as paridades? Basicamente, porque o mecanismo do cubo impede o movimento de uma única peça. A rotação mínima, legalmente, é um giro de 90 graus de uma face. Então percebe-se que o giro mais simples no cubo afeta sistematicamente todas as 9 peças (3x3x3) que estão na face girada. Isso acontece de tal maneira que não importa a sequência ou quantidade de movimentos, o cubo deve sempre seguir algumas leis primordiais: Permutações de peças (troca equivalente entre si) ocorrem somente em número par. Meios desorientados (meios invertidos em seu local correto) encontram-se apenas em pares. Cantos orientados sempre têm seus ângulos congruentes a 360º. Portanto:Somente 1/2 dos casos de permutações são legais. Somente 1/2 dos casos de orientação de meios são legais. Somente 1/3 dos casos de orientação de cantos são legais. O 3x3x3 possui 43.252.003.274.489.856.000 combinações legais! ● Demonstração das Leis do Cubo Primeira Lei - Permutação das Peças Um caso impossível Um estado em que o cubo pode ser resolvido com movimentos legais sempre pode ser representado por um número par permutações, e nunca por um número ímpar. O cubo representado nas imagem está com duas peças trocadas, necessitando de apenas uma permutação (ímpar). Portanto, impossível. Para entender melhor isso, considere o movimento de 90º em uma face representada abaixo: C1 E1 C2 → C4 E4 C1 E4 X.X E2 → E3 X.X E1 C4 E3 C3 → C3 E2 C2 Após o giro, as peças se arrumaram de um novo jeito. Esse novo arranjo de cantos é obtido através de três permutações (C1 para C4, depois C1 para C3, depois C1 para C2). De tal maneira que o mesmo ocorre com os meios. Ao todo, são 6 permutações (3 de cantos e 3 de meios). Portanto, não importa quantos movimentos você execute no cubo sempre um número par de permutações será realizado a cada movimento. Segunda Lei - Orientação de Meios Um caso impossível Nota-se também que cada movimento legal do cubo sempre inverte um mesmo número de meios, e assim o estado acima seria impossível de se chegar utilizando movimentos legais. Para perceber isso, agora tente inverter qualquer meio de L, R, F ou B utilizando apenas movimentos dessas próprias faces, em qualquer ordem ou quantidade, sem girar U ou D. Perceba que, fazendo isso, sempre que você tenta posicionar um meio em seu estado de origem com esses movimentos, você consegue. Portanto, eles estão desorientados. Entretanto, um movimento de 90 graus em U ou D posiciona os quatro meios dessas faces de forma que eles não podem ser colocados corretamente em sua posição original sem novos movimentos de U ou D, então estão desorientados. Isso significa que giros em Esquerda, Direita, Frente ou Atrás invertem 0 meios, que é considerado um número neutro. Entretanto, um giro em Topo ou Baixo inverte todos seus respectivos quatro meios, que é um número par. Conclui-se que nunca é possível, usando apenas movimentos legais, inverter um número ímpar de meios. Terceira Lei - Orientação de Cantos Um caso impossível Diferente das peças de meio, um canto tem três orientações possíveis (há três cores na peça). Por isso, consideremos que ele estará orientado caso seu adesivo que representa a face U/D esteja na face U ou D. Notemos que, com isso em mente, movimentos na face Topo ou Baixo não são capazes de desorientar os cantos. Os cantos só são desorientados com movimentos nas outras quatro faces do cubo (F, B, R, L). Os cantos estão orientados sempre que seus valores forem congruentes a 360º. Portanto, há três posições possíveis para um canto: 0º (em U ou D), 120º (torcido no sentido horário, 240º (torcido mais uma vez no sentido horário, isso é: no sentido anti-horário). Se somarmos todos esses números para os oitos cantos, teremos sempre um múltiplo de 360º. Outra forma de entender é dizendo que esses valores representam, respectivamente: 0, 1 ou 2. Sendo assim, um movimento de 90º altera os valores de dois cantos para 1 e de outros dois para 2. 1+1+2+2=6. Portanto, os valores totais dos cantos sempre devem ser divisíveis por três. Na figura, o valor total é 1, então configura-se um caso impossível. Nota: Para maior aprofundamento, leia sobre Teoria de Grupos (matemática). Fonte: http://www.ryanheise.com/cube/cube_laws.html [iNG] http://www.dm.ufscar.br/profs/waldeck/rubik [bR]